ブラウザ版でファイルの移動やコピーは出来ますか？

はい、できます。

🔧手順

対象のファイルを選択し右クリックし「移動」または「コピー」をクリックします。
そのまま移動先のフォルダを開きます。
移動先で「貼り付け」を押すと、移動・コピーできます。

※コピーしたファイルが保存されていた元のフォルダに対象のファイルを張り付けることはできません。